Minicurso dado por Omar Antolín (Instituto de Matemáticas de la UNAM) en el jueves 15 de marzo del 2018 en el Instituto de Matemáticas de la UNAM
Descripción:
La geometría algebraica derivada es una nueva versión de la geometría algebraica que modifica las definiciones básicas para volverlas “más homotópicas”.
La geometría algebraica (desde Grothendieck) basa sus definiciones en la noción de gavilla de anillos conmutativos. En la geometría algebraica derivada en lugar de usar anillos conmutativos se usan objetos similares pero con una teoría de homotopía no trivial; los ejemplos principales son álgebras diferenciales graduadas conmutativas, anillos simpliciales conmutativos y anillos espectro E∞.
La noción de gavilla realmente solo funciona bien cuando los objetos a los que se aplica están definidos salvo isomorfismo. Pero los productos tensoriales (derivados) de los sustitutos de anillos conmutativos solo están definidos salvo quasi-isomorfismo o equivalencia homotópica. En esa situación la noción categórica de gavilla es demasiado rígida y la geometría algebraica derivada la cambia también por una versión “más homotópica”, y de hecho, cambia toda la teoría de categorías por una versión “más homotópica”: la teoría de ∞-categorías, que se puede describir aproximadamente como lo que se obtiene de modificar la teoría de categorías para que en lugar de conjuntos de morfismos tenga espacios de morfismos y que de éstos solo importe su tipo de homotopía.