Ponente: Sergio Iker Martínez Juárez
Institución: Instituto de Matemáticas
Tipo de Evento: Divulgación
10/10/2018
de 17:00 a 18:00
Dónde Salón de seminarios "Graciela Salicrup"
Resumen:
En 1939 E. Hopf, demostró que el flujo geodésico en una variedad Riemanniana cerrada M con curvatura constante negativa y en una super cie cerrada S con curvatura Gaussiana negativa (no necesariamente constante), es ergódico con respecto a la medida de Lebesgue, utilizando lo que hoy en día se conoce como el Argumento de Hopf. Sin éxito durante años, algunos matemáticos (incluido Hopf), intentaron demostrar la ergodicidad del flujo geodésico para los casos restantes. Es decir, cuando dim(M)>2 y la curvatura seccional de M es negativa y variable. La dificultad con la que se enfrentaron fue que, en general, la estructura de producto local de finida por las foliaciones estable e inestable del flujo geodésico tiene un sistema coordenado que ni siquiera es C1, y por esto, no se puede aplicar el teorema de Fubini para garantizar una desintegración de la medida Lebesgue a lo largo de las hojas de dichas foliaciones y así obtener la ergodicidad del flujo geodésico. No fue hasta 1967 que D. Anosov logra demostrar el caso general. Para esto, Anosov demuestra que en general, las distribuciones tangentes a las foliaciones estable e inestable no son distribuciones C1, pero sí tienen cierto grado de regularidad, dándose cuenta que dependen de manera Hölder continua de M. Con esto, tiene la virtud de reemplazar la diferenciabilidad por la continuidad absoluta de las foliaciones estable e inestable en el argumento de Hopf, para así probar la ergodicidad del flujo geodésico. Con el argumento de Hopf y la continuidad absoluta, Anosov, no sólo demostró la ergodicidad del flujo geodésico en variedades Riemannianas cerradas con curvatura seccional negativa, sino también logra demostrar la ergodicidad para cualquier sistema dinámico de clase C2, Uniformemente Hiperbólico, también conocidos como sistemas Anosov. Durante la charla introduciremos los conceptos básicos para poder explicar de que se trata el tan celebrado argumento de Hopf y así bosquejar la prueba de la ergodicidad del los difeomorfismos de Anosov.
La platica será del argumento de Hopf.