Expositor: José Hernández Santiago
Institución: Instituto de Matemáticas, UNAM
25/04/2018 de 17:00 a 18:00
Dónde Salon de seminarios Graciela Salicrup
Resumen:
Para cada número primo p y cada número entero t denotemos con $t \pmod{p}$ a la clase módulo p a la que pertenece t. El gran Paul Erdös planteó en alguna ocasión el problema de determinar si existe p>5 tal que:
\# \{2! \pmod{p}, 3! \pmod{p}, \ldots, (p-1)! \pmod{p}\} = p-2.
Aunque el problema se encuentra todavía en espera de solución, se sabe que no existe un número primo $p \in (5,10^{9})$ tal que las clases $2!\pmod{p}$, $3! \pmod{p}$, $\ldots$, $(p-1)! \pmod{p}$ sean todas distintas; con base en evidencia como la previamente mencionada y en otras consideraciones se ha conjeturado incluso que el conjunto de números primos p>5 que satisfacen la ecuación de arriba es vacío.Un problema que surge de modo más o menos natural en el contexto de esta pregunta del preclaro Erdös es el de obtener estimaciones inferiores para el cardinal de $\mathcal{A}(N):=\{n! \pmod{p} \colon 1 \leq n \leq N\}$ para $N \in \mathbb{N} \cap (1,p)$.
En la charla mostraremos cómo establecer, mediante argumentos y resultados "recurrentes" en sumas exponenciales, la mejor estimación inferior para $\# \mathcal{A}(N)$ que se conoce en la actualidad. Si el tiempo lo permite mencionaremos también cómo se aplica la estimación establecida en el problema de la representación de los elementos de $(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})^{\times}$ como productos de factoriales de naturales de tamaño restringido.